Não! Mesmo que não haja contrato escrito de locação entre as partes.
Se foi feito contrato com os pais do atual locador, por exemplo, ou com terceiros, mesmo assim, a usucapião de imóvel alugado não é possível, porque é necessário que a pessoa que detém a posse (inquilino) comporte-se como dono, ou seja, apresente o animus domini, um dos requisitos para usucapião.
Quando o inquilino entra no imóvel, ele já sabe que não é o dono, pois precisa trocar dinheiro pelo teto sob o qual mora. Ele precisa pagar pela moradia. Só isso já demonstra que não é dono da coisa.